Cauchy schwarz inequality pdf

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, auch bekannt als Schwarzsche Ungleichung oder Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung, ist eine Ungleichung, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird, z. Wahrscheinlichkeitstheorie cauchy schwarz inequality pdf bei Integration von Produkten. Außerdem spielt sie in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle, wie etwa beim Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation.


Benannt ist die Ungleichung nach den Mathematikern Augustin-Louis Cauchy, Hermann Amandus Schwarz und Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski. Elemente eines reellen oder komplexen Vektorraums mit innerem Produkt sind, dann gilt für das Skalarprodukt bzw. Diese drei Ungleichungen werden durch die Hölder-Ungleichung verallgemeinert. Benannt ist die Ungleichung nach Augustin Louis Cauchy, Wiktor Jakowlewitsch Bunjakowski und Hermann Amandus Schwarz.

Schwarz veröffentlichte seine Arbeit erst 1884 ohne Bezugnahme auf die Arbeit von Bunjakowski. Entsprechend dieser Entwicklung findet sich teilweise auch nur die Benennung als Cauchy-Ungleichung für den diskreten, endlichen Fall und als Bunjakowski-Ungleichung oder Schwarzsche Ungleichung im Integral-Fall. Folge zeigen, dass eine so definierte Norm die Normaxiome erfüllt. Eine weitere Folgerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist, dass das innere Produkt eine stetige Funktion ist.

Winkel auf beliebige Räume mit innerem Produkt verallgemeinert werden kann. In der Physik wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bei der Herleitung der Heisenbergschen Unschärferelation verwendet. Ist einer der Vektoren der Nullvektor, so ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung trivialerweise erfüllt.

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Ein anderer Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich aus der Umordnungs-Ungleichung.

Daraus ergibt sich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Der Beweis für den allgemeinen Fall des Skalarprodukts in einem Vektorraum mit innerem Produkt ist jedoch einfach.

Der Beweis im komplexen Fall verläuft ähnlich, allerdings ist zu beachten, dass das Skalarprodukt in diesem Fall keine Bilinearform, sondern eine Hermitesche Form ist. Variante gewählt, so ist an den entsprechenden Stellen die komplex Konjugierte zu nehmen.

Man kann den Beweis des Satzes so umformulieren, dass die positive Definitheit des Skalarprodukts nicht verwendet wird. Allerdings sind auch Fälle denkbar, wo die Gleichheit eintritt, ohne dass eine lineare Abhängigkeit vorliegt.

Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: Cauchy-Schwarz inequality. Peter Schreiber: The Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality, in: Ders. Hermann Grassmann, Werk und Wirkung.

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